Desejo definir diferentes mecanismos de pesquisa padrão para os modos de navegação privado e 'normal' no Firefox, por exemplo, usar o Google no modo normal e o Bing no modo privado. Estou usando o Firefox 66.0.2 no Ubuntu 16.04, se isso for relevante.
Se não houver solução nativa, existe alguma usando algo como Tampermonkey? (Eu sei apenas como usar extensões do tipo Tampermonkey, não escrevendo scripts úteis para eles...)
Existe uma pergunta semelhante sobre o Chrome, que não possui solução nativa.