A maneira como eu entendo ULP é que é a lacuna entre dois números de ponto flutuante consecutivos. O livro que estou lendo diz que ULP = epsilon de máquina vezes dois ao expoente. Isso parece correto para mim apenas se os dois números tiverem o mesmo expoente.
Por exemplo, digamos que você tem uma mantissa de 5 bits e um expoente de 3 bits, e você tem o número de ponto flutuante 11111 100. Para encontrar o próximo maior ponto flutuante, você não pode simplesmente adicionar 1/32 à mantissa, porque você transbordaria. Então, você pode dizer que um número como 11111 100tem um ULP?
“ULP” significa “Unidade de Menor Precisão”. Então, indo pelo nome, é o valor da posição do menor dígito no significando 1 . Com isso, o ULP do maior número finito representável é o chamado épsilon escalado pelo expoente.
Como njuffa observa, há várias definições de ULP ou conceitos similares, então qual definição você usa depende do propósito que você quer atender. É útil para discutir ou raciocinar sobre o espaçamento entre números de ponto flutuante, mas há vários recursos que precisam ser levados em conta.
Por exemplo, é incorreto afirmar que um ULP é a distância até o próximo valor representável. Um motivo é, como você observou, que falha no maior número finito representável. Outro é que falha para números negativos em cada ponto onde o expoente muda. A distância de −1 até o próximo maior número representável é, em um formato de base dois, metade de um ULP de −1, não um ULP completo, devido à diminuição do expoente.
O arredondamento em operações aritméticas de ponto flutuante se comporta como se houvesse outro valor representável um ULP maior que o maior valor finito representável. Se o arredondamento produzisse esse próximo número, ∞ é produzido em vez disso. Então, de certa forma, o ULP é o tamanho do passo para o “próximo” número.
Outro problema com ULP surge quando você quer discutir o espaçamento entre números de ponto flutuante em um certo número, mas esse número não é representável no formato de ponto flutuante; ele está entre dois números representáveis. Como ele não é representável no formato, ele não tem um significando no formato, então ele não tem um dígito mais baixo em seu significando. Você precisa de uma medida diferente de um ULP nominal.
Geralmente, prefiro usar ULP para significar o espaçamento de números representáveis no intervalo expoente contendo o valor absoluto do número, [ b e , b e +1 ), e então discutir/provar qualquer erro, precisão ou propriedade de arredondamento que eu precise em termos dessa unidade. Mas essa definição ainda precisa ser concluída para um intervalo em torno de zero e para além do maior valor finito representável.
Nota de rodapé
1 “Significando” é o termo preferido para a parte fracionária de um número de ponto flutuante. “Mantissa” é um termo antigo para a parte fracionária de um logaritmo. Mantissas são logarítmicas; adicionar à mantissa multiplica o número. Significandos são lineares; adicionar ao significando adiciona ao número (conforme escalado pelo expoente).