É possível verificar se uma conexão é local ou via ssh *depois* de elevar para a conta root com `sudo`?

Quero ver se estou conectado via ssh ou executando um terminal local.

Se eu apenas ssh em um servidor sem alterar para root via sudo, é fácil. Qualquer uma das variáveis $SSH_CLIENT​​, $SSH_CONNECTIONou $SSH_TTYpode ser usada para verificar se uma está conectada via SSH ou local.

Problema: Quando eu elevo para a conta root sudo -ipara fazer coisas administrativas, nenhuma dessas variáveis ​​é útil - elas estão todas vazias.

Qual é a melhor maneira de descobrir se a conexão é local ou via SSH?

EDIT: Com a resposta aceita, é fácil ter um prompt bash discreto que reflete o status e os privilégios do ssh:

if [ "$color_prompt" = yes ]; then
    # when system is accessed via SSH, hostname with light grey background
    if [[ $(pstree -s $$) = *sshd* ]]; then sshbg="\[\033[48;5;7m\]"; fi
    # when used as root, change username to orange and '#' to red for prompt
    if [ $(id -u) -eq 0 ]; then usercol="\[\033[38;5;3m\]"; hashcol="\[\033[38;5;1m\]"; else usercol="\[\033[38;5;2m\]"; fi
    # bash PS1 prompt
    PS1="${usercol}\u\[$(tput sgr0)\]@\[$(tput sgr0)\]\[\033[38;5;4m\]${sshbg}\h\[$(tput sgr0)\]:\[$(tput sgr0)\]\[\033[38;5;6m\]\w\[$(tput sgr0)\]${hashcol}\\$ \[$(tput sgr0)\]"
    unset sshbg rootcol hashcol
fi

A versão temporizada da pstreepeça é executada em menos de 20ms, para que possa ser usada sem introduzir atrasos perceptíveis.