Servindo 2 sites diferentes do mesmo servidor IIS na mesma porta

Tenho 2 sites diferentes:

• mysite.com
• api.mysite.com

Quero poder atender a esses dois sites do mesmo servidor da Web (mesmo IP) e do mesmo número de porta.

Eu segui este documento e criei os seguintes sites:

É assim que a ligação para mysite.comse parece:

E é assim que a ligação para api.mysite.comse parece:

Observe que a única maneira de definir 2 sites usando o mesmo IP e porta era usar um nome de host para um deles.

Com as configurações acima, mysite.comfunciona, mas api.mysite.comnão funciona. Se eu parar mysite.comde IIS, então api.mysite.comcomeça a funcionar.

O documento que usei como guia explica que preciso usar dnsmgmt.msc para definir um CNAME para api.mysite.com, mas é aqui que estou confuso. Estou usando AWS e defini 2 registros CNAME para esses sites no Route 53 . Ainda preciso definir um registro CNAME para um desses sites no Windows?

Caso contrário, como eu diria ao IIS que a solicitação contendo api.mysite.comdeve ser enviada ao site com o host name = api.mysite.com?

Atualizar

A resposta fornecida por Greg sugere que eu adicionaria mysite.com como nome do host também. Se eu seguir esta solução, como lidarei com as solicitações de www.mysite.com?

No momento, qualquer solicitação de mysite.comé redirecionada permanentemente parawww.mysite.com