Remova a linha horizontal entre os rótulos facet_wrap

Se preferir manter o theme_bw(), uma opção é criar uma nova variável que concatene o estado e a cidade, separados por caracteres de nova linha (\n):

df <- df %>%
  mutate(state_city = paste(state, city, sep = "\n\n"))

Então você pode usar a nova variável para exibir seu gráfico:

df %>%
  ggplot(aes(x = year, y = value)) +
  geom_point() +
  theme_bw() +
  facet_wrap(~state_city)

Portanto o código completo será:

library(tidyverse)

set.seed(333)

# Example dataset
df <- data.frame(
  state = c("North Carolina","North Carolina","North Carolina",
            "North Carolina","North Carolina","North Carolina",
            "Virginia","Virginia","Virginia"),
  city = c("Boone","Boone","Boone",
           "Elizabeth City","Elizabeth City","Elizabeth City",
           "Norfolk","Norfolk","Norfolk"),
  year = rep(seq(2000,2004,2),3),
  value = round(rnorm(9,100,50))
)

#New variable
df <- df %>%
  mutate(state_city = paste(state, city, sep = "\n\n"))

# Example plot
df %>%
  ggplot(aes(x = year, y = value)) +
  geom_point() +
  theme_bw() +
  facet_wrap(~state_city)

Existem algumas maneiras de conseguir isso. Mude o tema, por exemplo. para theme_light(A) ou mexa no fundo da faixa e nas cores do texto (B). Nenhum desses métodos modifica os dados.

df %>%
  ggplot(aes(x = year, y = value)) +
  geom_point() +
  theme_light() +
  facet_wrap(~state+city)

df %>%
  ggplot(aes(x = year, y = value)) +
  geom_point() +
  theme_bw() +
  facet_wrap(~state+city) +
  theme(strip.background=element_rect(color="grey90", fill="grey90"),
        strip.text=element_text(colour="black"))