como adicionar o eixo menor e remover o eixo maior pelo ggplot2?

Você precisa converter para uma escala contínua para usar marcas menores, já que não há quebras menores em um eixo discreto:

dt %>% 
  ggplot(aes(var1, as.numeric(factor(ca)), fill = var2)) +
  geom_col(width = 0.8, orientation = 'y') +
  stat_summary(orientation = 'y', fun = sum, geom = "point", colour = "grey40", 
               fill = "grey40", aes(shape = 'average'), size = 2) +
  geom_vline(xintercept=0, colour="grey30", linetype = "dotted") +
  scale_y_continuous('ca', labels = levels(factor(dt$ca)), 
                     breaks = seq_along(levels(factor(dt$ca)))) +
  scale_shape_manual(NULL, values = 20) +
  guides(y = guide_axis(minor.ticks = TRUE), 
         fill = guide_legend(order = 1),
         shape = guide_legend(order = 2)) +
  theme(axis.minor.ticks.length.y = unit(3, 'mm'),
        axis.ticks.length.y = unit(0, 'mm'),
        legend.key = element_blank())

Até onde eu sei, o ggplot2 não tem a funcionalidade de adicionar ticks secundários entre quebras de eixo para escalas discretas. Mas graças à flexibilidade do ggplot2, podemos adicioná-los manualmente sem muitos problemas, apenas desenhando algumas linhas (segmentos) apenas no eixo vertical, e adicionando uma configuração usando coord_cartesianpara que os elementos gráficos fora dos limites do gráfico não sejam removidos.

Para posicionar os ticks no eixo vertical de uma variável discreta entre cada rótulo de texto, temos que criar uma sequência de números igual às quebras de eixo menos 0,5, porque valores discretos mapeados para um eixo têm uma posição vertical numérica, então subtrair 0,5 irá dê-nos a posição intermediária entre cada rótulo.

Para desenhar fora dos limites do gráfico, temos que adicionar limites rígidos para o eixo x que nos permitirá desenhar elementos no gráfico sem esticar o eixo vertical para ajustá-los, porque por padrão o ggplot quer todos os elementos plotados dentro da área do gráfico, e esticará os eixos para encaixá-los. Fazemos isso no limits_x_axisobjeto.

library(ggplot2)
library(dplyr)

dt <- data.frame(
  ca = rep(c("Oesophageal cancer", "Gastric cancer", "Colorectal cancer"), 3),
  var1 = c(1:3, -4:-6, 7:9),
  var2 = rep(LETTERS[1:3], 3)
)

#values for the y axis
middle_ticks_positions <- seq(0.5, length(unique(dt$ca))+0.5, by = 1)

#limits for the x axis
limits_x_axis <- c(min(dt$var1)*1.2, max(dt$var1)*1.5)

dt %>% 
  ggplot(aes(var1, ca, fill = var2))+
  geom_bar(stat="identity", width=0.8)+
  annotate("segment", 
           x = -8.2, xend = -8.6, #adjust the length of ticks as you need
           y = middle_ticks_positions, yend = middle_ticks_positions) +
  coord_cartesian(clip = "off", xlim = limits_x_axis) +
  stat_summary(fun=sum, geom="point",colour="grey40", fill="grey40", shape=20, size=2)+
  geom_vline(xintercept=0, colour="grey30", linetype="dotted")+
  theme(
    axis.ticks.y = element_blank()
  )