stderr stdout para registrar com data e hora também mostra a saída para tty, mas sem data e hora

Estou executando alguns comandos em uma função. Eu gostaria de fazer logs dele adicionando data e hora para cada saída de comando dessa função. No entanto, no terminal quando executado, quero mostrar apenas a saída normal principal sem data ou hora.

Então, como posso canalizar tudo isso exec 3>&1 1>>${log} 2>&1via adddatefunção como

./script | adddate >>$logpara que eu possa obter datea saída do meu log em cada linha, mas ao mesmo tempo posso mostrar a saída no terminal.

Não quero mostrar data e hora em tty, quero salvá-los apenas em log. Estou fazendo isso porque quero pegar todos os parâmetros inválidos que podem ter sido passados ​​por usuários em algum momento específico e assim por diante, mas ao mesmo tempo, quero mostrar a saída para o usuário que executou o script para seu tty .

Até agora, cheguei até aqui da seguinte forma:

#!/usr/bin/env bash
log=logs.txt
exec 3>&1 1>>${log} 2>&1 ## works but without date

então eu tentei algo assim mostrado abaixo. Não é muito claro como executá-lo corretamente

3>$1 1>> | adddate ${log} 2>&1 ###(!) doesnt work

exec 3>&1 | adddate 1>> ${log} 2>&1 ###(!) doesnt work

adddate, maina função fica assim:

adddate() {
    while IFS= read -r line; do
        printf "%s %s\n" "$(date)" "$line";
    done
}

main()
{

case $arg in
        --version)
                [[ "$arg2" == "" ]] && { --version; } || { error; } ;;

        build)
                [[ "$arg2" == "oneshot"  ]] && {
                        build oneshot; } || {
                        build;
                         } ;;
        update)
                [[ "$arg2" == "" ]] && { update; } || { error; } ;;
        *)
                error
esac

}

arg=$1;
arg2=$2;
shift;

main | tee /dev/fd/3; ## so that it goes to tty, not sure if there is other better way?!?

Então, resumindo: os logs devem ser algo como o seguinte: para cada comando, deve haver a data e a hora gravadas no log antes da saída do comando para uma mainfunção como

main()
{
   printf "Hello\n";
   printf "there!\n";
}

o logout deve ser:

Mon Jun 17 20:00:02 JST 2019 Hello
Mon Jun 17 20:00:02 JST 2019 there!

e tty não deve mostrar logs, mas mostrar apenas a saída principal, que é, por exemplo:

Hello
there!