Pacman reclama que "banco de dados 'core' não existe"

primeiro você precisa fazer pacman -Syuentãopacman -S postgresql

A razão pela qual você tem esse tipo de erro é porque o pacman não possui uma lista de pacotes disponíveis. pacman -Syuatualizará (ou criará) a lista de pacotes disponíveis e atualizará os pacotes atualmente instalados.

Antes de instalar, você pode usar pacman -Ss postgresqlpara ver uma lista de pacotes que correspondem à sua entrada, isso o ajudará a descobrir quais pacotes você precisa.

Para uma lista mais avançada de recursos do pacman, leia a postagem do Archwiki sobre o pacman