Como são as junções comutativas e associativas?

Você fez uma suposição incorreta.

Se três é uma relação entre Ae B, e entre Be Cmas nenhuma relação entre Ae C, juntar Ae Cnão lhe dá nenhuma linha. Na verdade, ele fornece m * n linhas, onde m é o número de linhas em Ae n é o número de linhas em B.

A JOIN B on (a.id = b.A_id)
  JOIN C on (b.id = c.B_id)

torna-se, se juntarmos Ae Cprimeiro:

A JOIN C on (1 = 1)
  JOIN B on (a.id = b.A_id AND b.id = c.B_id)

NOTA: A faculdade foi há mais de 30 anos - espero que você entenda conceitualmente e possa reescrever na sintaxe correta para a álgebra relacional real.

Se você tiver 20 linhas em A, 30 em Be 40 em C, e cada linha em Bcorresponder a uma e apenas uma linha em A, e cada linha em Ccorresponder a uma e apenas uma linha em B. Ao entrar Aem B, você receberá 30 linhas de volta; quando você juntar essas 30 linhas a C, você receberá 40 linhas de volta.

Se você ingressar primeiro Aem C, sem nenhum relacionamento para definir quais pares de linhas são válidos , você receberá de volta todos os pares de linhas possíveis - 800 linhas. Quando nos juntamos Bàs 800 linhas, a conexão entre Be Asignifica que uma linha Bpode corresponder apenas às AClinhas que incluem uma Alinha específica - haverá 40 delas (uma para cada Clinha). Desses 40, as únicas correspondências reais são aquelas em que a conexão entre Be Ctambém é válida. E sabemos que as Clinhas que correspondem à Blinha atual não podem corresponder a nenhuma outra Blinha. Então, para uma Blinha, podemos ter 2AClinhas que correspondem, por mais 4, por mais apenas 1.

Dito isso, sabemos que cada Clinha corresponde a uma (e apenas uma) Blinha, portanto, o número total de correspondências chegará a 40 novamente - as mesmas 40 correspondências como se tivéssemos as primeiras correspondências Ae B, ou Be C.

Então - a condição em uma junção não informa quais linhas correspondem - ela realmente informa quais linhas não correspondem. Retire-o e você terá um CROSS JOIN- o produto vetorial das linhas nas duas tabelas.

Considerando

• A, B e C são três tabelas
• operação de junção é denotada por ⋈
• Conjuntos (círculos no diagrama de Venn abaixo) são formados de acordo com as colunas de junção, ou seja, A ⋈ B representa um conjunto de linhas com os mesmos valores para colunas de junção para A e B

A associatividade da junção pode ser visualmente provada com o diagrama de Venn da seguinte forma:

A comutatividade da junção pode ser visualmente provada com o diagrama de Venn da seguinte forma:

Atualização
(anteriormente, o diagrama tinha ∩ em vez de ⋈. A explicação abaixo foi feita no contexto de ∩.)

Obrigado @Lennart por apontar nos comentários que

"A junta B" não é o mesmo que "A cruza B"

Acho que mais explicações precisam ser fornecidas, pois INTERSECTa operação não é exatamente a mesma queINNER JOIN . Quero destacar os seguintes pontos do link:

1. INTERSECTO operador retorna quase os mesmos resultados que a INNER JOINcláusula muitas vezes.

2. Ao usar INTERSECTo operador, o número e a ordem das colunas devem ser os mesmos em todas as consultas, bem como o tipo de dados deve ser compatível. Mas isso não tem efeito no diagrama de Venn acima se considerar o que eu disse explicitamente no terceiro ponto acima:

   A ∩ B representa um conjunto de linhas com os mesmos valores para colunas de junção para A e B

   Então, por símbolo ∩ eu realmente quis dizer juntar, não cruzar e com este ponto em consideração, a junção seguirá o comportamento da interseção do conjunto. Acho que o erro que cometi foi usar o símbolo ∩ em vez de ⋈. Eu não tinha INTERSECTa operação em mente enquanto escrevia a resposta. Eu usei por intuição como "interseção lógica de dois conjuntos", mas não como " INTERSECToperação de banco de dados".

3. INNER JOINpode simular com INTERSECTquando usado com DISTINCT. Mas mesmo se não incluirmos DISTINCTe mantivermos como INNER JOIN, o diagrama de Venn ainda será válido, pois a interseção de dois círculos/conjuntos também conterá registros duplicados.

Observe também que esta resposta tenta explicar a associatividade da junção externa esquerda usando uma abordagem semelhante ao diagrama de Venn.

Para encerrar, honestamente, sinto que devo trocar o símbolo ∩ por ⋈.