O cliente SSMS local não está conectando um servidor específico

Devido aos seus comentários sobre a resposta principal, eu escreveria minhas sugestões abaixo. Você descreveu que seu vizinho ainda pode se conectar à máquina, mas você não. Isso não parece um comportamento normal de um SQL Server. Isso só me leva a outra conclusão. Parece ser mais provável um erro de rede. Na verdade, você também descreveu que também poderia se conectar ao servidor, pouco antes de uma hora.

Eu sugeriria as seguintes abordagens de solução:

1. Verifique se seu vizinho ainda pode se conectar ao servidor.
2. Verifique se você pode se conectar a todos os outros sistemas com os quais você normalmente se conecta.
3. Faça login no PC do seu vizinho, tente se conectar ao Servidor X. Se isso funcionar, não é nada com suas permissões ou com seu usuário.
4. Devido ao fato de que parece estar relacionado à rede, sugiro verificar a rede em sua empresa. Verifique no PC do seu vizinho qual IP está atribuído ao Servidor X. Você pode fazer isso usando cmde digitando nslookup serverx. Compare-o com o IP que foi fornecido depois que você tentou ping serverx. Eles combinam? Se não, você provavelmente tem um erro de DNS. O que significa que o Servidor X tem outro IP, mas seu PC não o reconheceu em seu arquivo ARP. Você pode querer liberar seu DNS-cache. Você pode fazer isso usando ipconfig /flushdnsna linha de comando.
5. Se este 4 não se aplicar ou ajudar, você pode tentar um tracert para o servidor x do seu vizinho usando tracert serverx. Verifique quais saltos ocorrem. Tente o mesmo em sua máquina. Eles combinam ou há alguma diferença? Se você encontrou um tempo limite em um ip especial, pode tentar pingar o ip correspondente do seu pc e do pc do seu vizinho. Se você não consegue acessar o ip, mas seu vizinho pode - parece um erro de porta em um switch específico entre você e seu vizinho. A propósito, toda a história parece ser uma porta defeituosa na minha opinião. Apenas devido ao fato de que isso ocorre apenas de um minuto para o outro é meio específico para um erro de porta. Mesmo o fato de que você não pode se conectar ao servidor. Você deveria tentar isso!
6. Se todas as opções acima não ajudarem, você ainda verifica os firewalls entre você e o servidor x. Algumas empresas usam interruptores ou IDSaplicativos inteligentes (sistema de detecção de intrusão) que detectam mau comportamento e fecham portas específicas. Se sua empresa usa tal sistema e não está configurado corretamente, pode causar o fechamento dessa porta. Tive uma solução semelhante em minha antiga empresa nos primeiros dias de nosso IDS. Você também pode tentar se conectar ao servidor x do PC do seu vizinho usando RDPe tentar fazer ping no seu PC do lado do servidor.

Se nada mais ajudar, você precisa entrar em contato com o administrador do sistema (se não for o seu :-D) e tentar descobrir qual cabo ou porta está quebrado.

Eu realmente não acho que este seja um erro específico do SQL Server. Eu acho que isso é algum erro de hardware ou talvez de software em sua rede/pc.