Não é possível sair do aplicativo Flutter Supabase

Sou novo no Flutter e atualmente estou criando um aplicativo usando Supabase para autenticação.

Tudo funciona bem, como registro de usuário, login, etc., mas estou enfrentando um problema ao sair.

Quando pressiono o botão de logout, o usuário é desconectado com sucesso, mas o aplicativo não navega para a página de login como esperado.

Este é o código de logout

    import 'package:expense_tracker/auth/auth_service.dart';
    import 'package:expense_tracker/components/elevated_button.dart';
    import 'package:flutter/material.dart';
    
    class Setting extends StatefulWidget {
      const Setting({super.key});
    
      @override
      State<Setting> createState() => _SettingState();
    }
    
    class _SettingState extends State<Setting> {
      final auth = authService();
    
      void logout() async {
        await auth.signOut();
      }
    
      @override
      Widget build(BuildContext context) {
        return Scaffold(
          body: Center(
            child: CustomButton(
              onPress: logout,
              text: "Logout",
              isSmall: true,
            ),
          ),
        );
      }
    }

Este é o código de autenticação do portão

    import 'package:expense_tracker/pages/home_page.dart';
    import 'package:expense_tracker/pages/login_page.dart';
    import 'package:flutter/material.dart';
    import 'package:supabase_flutter/supabase_flutter.dart';
    
    class AuthGate extends StatelessWidget {
      const AuthGate({super.key});
    
      @override
      Widget build(BuildContext context) {
        return StreamBuilder(
          stream: Supabase.instance.client.auth.onAuthStateChange,
          builder: (context, snapshot) {
            print("Auth state changed: ${snapshot.data}");
    
            if (snapshot.connectionState == ConnectionState.waiting) {
              return const Scaffold(
                body: Center(child: CircularProgressIndicator()),
              );
            }
    
            final session = Supabase.instance.client.auth.currentSession;
            print("Current session: $session");
    
            if (session != null) {
              return HomePage();
            } else {
              return LoginPage();
            }
          },
        );
      }
    }

This is main page code 

    @override
    Widget build(BuildContext context) {
      return MaterialApp(
        debugShowCheckedModeBanner: false,
        themeMode: ThemeMode.system,
        theme: MyThemes.lightTheme,
        darkTheme: MyThemes.darkTheme,
        home: const AuthStateListener(),
        routes: {
          "/login": (context) => const LoginPage(),
          "/register": (context) => const RegisterPage(),
          "/home": (context) => const HomePage(),
          "/expense": (context) => const AddExpense(),
          "/split": (context) => const SplitFriends(),
          "/setting": (context) => const Setting(),
        },
      );
    }

O que eu tentei:

1. Encapsulamento signOut()em um bloco try-catch — nenhum erro detectado.

2. Verificado que auth.signOut()realmente desconecta o usuário.

3. Os logs foram verificados e o AuthGate imprime a sessão como nula (esperado após o logout).

Mas ainda não redirecionado para LoginPage.

O que eu espero:

Após sair, o aplicativo deve redirecionar automaticamente para LoginPage (conforme tratado no AuthGate).

OBSERVAÇÃO Sempre que executo um aplicativo sem depuração, ele funciona.