Aqui está uma explicação que posso lhe dar (se precisar de esclarecimentos, avise-me).

Idéia principal

Já que uma subárvore T′ de T é um conjunto conectado de nós.
Imagine estender tal subárvore começando de algum nó e então decidir, para cada nó adjacente (filho na árvore DFS), se estamos anexando-o ou não.
Quando você não anexa um ramo, essa aresta é cortada.

Observações

1. Quando você anexa uma subárvore de um filho, a aresta que conecta o filho ao nó atual passa de cortada para anexada.
2. Ao combinar escolhas de ramos diferentes, você precisa subtrair 1 para cada ramo que você anexar (porque você economiza um corte).

Programação dinâmica

O código usa programação dinâmica para contar efetivamente o número de diferentes ramificações (sim, apesar do que o membro do fórum/discussão do Hackerrank alega, este código está usando um dp subjacente).

Atualmente, o código cria uma tabela de dp de dicionário onde as chaves são o número de arestas cortadas que a subárvore (que inclui o nó atual) tem, e os valores são o número de maneiras de atingir isso.

Note que a função "multiply" combina estados dp. Por exemplo:
a). Suponha que você tenha uma configuração atual com k (edgeCount1) arestas de contorno (da subárvore parcial do nó atual) e uma subárvore filha que pode ser anexada de maneiras que produzem k1 (edgeCount2) arestas de contorno. (note novamente a observação de que estamos economizando 1 corte)
2. Essa convolução sobre os números possíveis de arestas de contorno pode ser considerada análoga à multiplicação de dois polinômios (onde os expoentes rastreiam o número de arestas de contorno) com um deslocamento de −1.

O que torna esse código complicado

Uma coisa que o autor fez para tornar o código tão difícil de entender é que eles usaram variáveis ​​com nomes ruins e, em alguns casos, nomes que realmente distraíam da ideia principal. Por causa disso, incluí um código atualizado (um que simplifica parte da lógica, mas também nomeia as variáveis ​​de uma forma que torna um pouco mais fácil entender o código):

def cutTree(n, k, edges):
    graph = [[] for _ in range(n)]
    #We are creating an undirected graph from the edges
    for i in edges:
        graph[i[0]-1].append(i[1]-1)
        graph[i[1]-1].append(i[0]-1)
    global ans
    ans = 1
    #previously called multiply
    def combine(dp, dp2):
        counts = Counter()
        for edgeCount1, v in dp.items():
            #k (or edgeCount1) is the edgeCount
            #v is the number of times we can count/achieve that edgeCount
            for edgeCount2, v2 in dp2.items():
                #You'll remember that y (dp2) is also part of dp
                #k1 (edgeCount2) is edgeCount
                #v1 (v2) is the number of times we can count/achieve that edgeCount
                #we multiply to get the combinations
                #again the observation is that we save 1 cut edge when combining
                counts[edgeCount1+edgeCount2-1] += v*v2
        for edgeCount, v in counts.items():
            #add combinations to the edgeCount (k)
            dp[edgeCount]+=v
    def dfs(node,parent):
        global ans
        hasParent = 1 if node else 0
        #x is telling us if we have a parent.
        edgeCount = len(graph[node])-hasParent # Number of edges that aren't the parent.
        dp = Counter()
        dp[edgeCount] = 1 #edges: 1
        for nxt in graph[node]:
            #nxt not being equal to parent makes sure we don't revisit the parent.
            if nxt != parent: 
                combine(dp, dfs(nxt, node))
        #If i (the edge count) + hasParent (which is 1 if there is a parent, and 0 otherwise)
        #In other words if the total edge count is less than or equal to  k (i.e. at most K edges)
        #We are going to add the number of times that combination happens (v), 
        #We discard edge counts that are too large
        ans += sum(((v if i+hasParent <= k else 0) for i, v in dp.items()))
        return dp
    dfs(0,-1) #start with node 0 parent -1 (no parent)
    return ans

Minha explicação pode ficar curta (no que diz respeito à simplificação), e eu encorajo outros a postarem suas próprias respostas explicando o código.
Espero que meu código de exemplo com os nomes de variáveis ​​ajustados esclareça um pouco do que o código está fazendo

(embora eu queira observar que removi o caso base no dfs, pois não era necessário... Talvez tenha sido um erro no que diz respeito à explicação (pois pode ser mais fácil ver o outro, ou você pode tentar entender isso também)...

Novamente, eu encorajo outros a postarem suas explicações, sinta-se à vontade para deixar um comentário se você não entender parte dele.