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劉宸瑋
Asked: 2024-11-16 19:59:21 +0800 CST

删除 AVL 树中的单个节点是否需要两次双重旋转？

  • 772

我一直在研究 AVL 树及其平衡机制，特别是如何在插入或删除后使用旋转来保持平衡。我知道当节点的平衡因子变为 -2 或 +2 时，可能需要进行单次或两次旋转。

但是，我对删除操作期间的双重旋转有一个疑问：

问题：

理论上，删除 AVL 树中的单个节点是否需要进行两次双重旋转才能恢复平衡？

据我所知，情况不应该如此。下面，我将概述为什么只需一次双重旋转就足够的原因。如果我有误或遗漏，我将不胜感激任何澄清或更正。

我的理由：

AVL 树旋转的性质：

删除节点时，平衡操作仅影响从删除点到根路径上被删除节点的祖先。每次旋转（单次或双次）都会影响被重新平衡的子树的局部高度，并恢复该子树的平衡。单次传播路径：

删除节点后，不平衡会沿着一条路径传播到根节点。只有沿此路径遇到的第一个不平衡节点（我们称之为 Z）才需要重新平衡。一旦 Z 重新平衡，以 Z 为根的子树就会恢复其高度，并且进一步的传播会停止。

双重旋转标准：

在以下情况下会触发双重旋转：

Z 的平衡因子变为 −2 或 +2。Z 的子节点具有相反方向的平衡因子，需要两步调整（例如，从左到右或从右到左）。在 Z 处进行双重旋转后，Z 的子树的高度得以恢复，从而防止进一步向 Z 的祖先传播不平衡。

为什么多次双重旋转是不必要的：

一次双重旋转即可恢复 Z 及其子树的平衡，从而阻止任何高度变化进一步向上传播。因此，删除单个节点不可能在重新平衡路径上需要进行多次双重旋转。要求：如果我的推理有缺陷，或者存在在 AVL 树中删除单个节点时需要进行多次双重旋转的极端情况，您能否提供解释或反例？

我回顾了 AVL 树的重新平衡过程，并尝试推理其传播限制。我预计一次删除只会影响到根路径上的一个不平衡节点，最多需要一次双重旋转才能恢复平衡。这符合我对 AVL 树属性的理解，但我想确认这种逻辑是否普遍适用，或者是否存在极端情况。

algorithm

1 个回答

  1. Best Answer

    是的，删除 AVL 树中的单个节点可能需要两次双重旋转才能恢复平衡。

    在您推论事实并非如此时，您写道：

    单次双重旋转即可恢复 Z 及其子树的平衡，从而阻止任何高度变化进一步沿树向上传播。

    但事实并非如此：高度变化不一定会阻止树进一步向上传播。节点 Z 处的双重旋转会降低 最初以 Z 为根的子树的高度（通过旋转，该子树被其孙节点取代）。这种降低的高度肯定会给祖先节点带来不平衡，而且没有理由不需要双重旋转：它取决于不属于当前子树的子树。

    示例树和删除

    以下是导致两次双重旋转的删除示例。我们从这棵正确平衡的 AVL 树开始：

                  __4_
             /    \
            1      9
           / \    / \
          0   3  7  10
             /  / \   \
            2  5   8  11
                \
                 6

    然后我们删除0：

                  __4_
             /    \
            1      9
             \    / \
              3  7  10
             /  / \   \
            2  5   8  11
                \
                 6

    现在节点 1 不平衡了。由于它的右子节点是左重节点，我们需要在节点 1 处进行双重旋转，结果如下树：

                  __4_
             /    \
            2      9
           / \    / \
          1   3  7  10
                / \   \
               5   8  11
                \
                 6

    但是这种双重旋转在节点 4 处引入了不平衡。并且由于它的右孩子节点是左重的，所以我们也需要在那里进行双重旋转：

                  __4_
             /    \
            2      9
           / \    / \
          1   3  7  10
                / \   \
               5   8  11
                \
                 6

    最终形成了这棵平衡树：

                    __7_
               /    \
              4      9
             / \    / \
            2   5  8  10
           / \   \      \
          1   3   6     11

    所以这证明——按照标准删除程序——我们可能需要应用一次以上的双重旋转。

    • 1

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